ACサーボモーターベクトル制御：クラーク変換とパーク変換が行うこと
要点
ベクトル制御では、駆動器は三相電流を回転子とともに回る2軸で表します。定常状態では、この電流はほぼ一定の2つの値として現れ、一方が主にトルクを、他方が磁束を司ります。PI制御器は、他励直流機の界磁電流と電機子電流を扱うのとほぼ同じように、これらの値を制御できます。駆動器のその他の機能は、角度推定の維持と必要な相電圧の生成を担います。
なぜベクトル制御が必要か
他励直流機は、界磁磁束 Φ と電機子電流 Ia を独立に調整できるため、制御が単純です。トルクは Tm = KT · Φ · Ia で表されます。界磁が独立した巻線になっているので、Ia を変えても Φ は直接変化せず、電機子電流ループだけでトルクを調整できます。
三相交流機では、同じ固定子電流が磁化とトルクの両方を同時に担います。スカラーV/f制御は電圧を周波数に比例させて磁束をほぼ一定に保ちますが、トルクを生む電流を直接制御しているわけではありません。トルクは負荷が決める値になり、ファンには向いても、サーボ軸に求められる応答性や位置保持は得られにくくなります。
ベクトル制御は、モータのハードウェアを変えずに座標変換でこの問題を解きます。固定子電流を回転子磁束に平行な成分と直交する成分に分解すれば、駆動器は直流機の界磁電流と電機子電流に近い形で両者を扱えます。この手法は1971年、シーメンスのフェリックス・ブラシュケによるものとされています。
| 制御対象 | V/f（スカラー） | ベクトル制御（磁界定向） |
|---|---|---|
| 電圧と周波数 | 直接与え、比を一定に保つ | 電流ループの出力をPWMで与える |
| 磁束 | 比によってほぼ一定に保つ | id によって明示的に調整する |
| トルク | 負荷が要求する分。駆動器は把握しない | iq に比例する指令値 |
| 定常速度偏差 | 存在し、負荷に依存する | 外側の速度ループが解消する |
| 零速時のトルク | ブーストなしでは出ず、不安定 | 角度が既知であれば定格相当 |
| 主な用途 | ファン、遠心ポンプ | サーボ軸、位置決め、巻取り、けん引 |
ベクトル制御は、使える回転子角度と、ある程度正確なモータ定数に依存します。どちらかに誤差があればトルク制御に影響し、速度や負荷が上がるほど顕著になります。汎用モータをインバータで駆動した場合との比較はインバータモータと普通のモータの違いにまとめています。
3つの座標系、1つの回転磁界
ベクトル制御は3つの座標系を使い、同じ電流の場を異なる視点から記述します。どの座標系で考えているかを意識しておくと、変換の流れを追いやすくなります。
| 座標系 | 軸 | 観測者から見えるもの | 使う理由 |
|---|---|---|---|
| abc | 空間的に120°ずつ離れた3つの巻線 | 時間的に120°ずつずれた3つの正弦波 | センサが実際に測る量 |
| αβ（静止） | 固定子に固定された直交2軸、90° | 時間的に90°ずれた2つの正弦波 | 冗長な第3相を除ける |
| dq（回転） | 回転子磁束に固定され ω で回る直交2軸 | 定常状態で2つの定数 | PI制御を可能にする |
αβ変換が3変数を2変数に減らせるのは、平衡した3線式では第3の電流が他の2つから決まるからです（ia + ib + ic = 0）。αβ の電流は電気周波数で振動し続けます。一定になるのは、パーク変換によって回転子の回転座標系へ移した後です。
機械角と電気角
変換に使うのは電気角で、極対数 p のモータでは機械1回転あたり p 回進みます。極数と極対数の関係はモータの極数で説明しています。
クラーク変換：3相から2軸へ
クラーク変換は3つの相電流を2つの静止軸に写し、α軸をA相に合わせます。次の振幅不変形は電流の波高値を保つ形で、駆動器の実装でよく使われます。
通常の3線式では中性点が接続されていないため ic = −ia − ib となり、組はマイコンが数命令で計算できる形に簡略化されます。
互換性のない2つの規約
振幅不変形と電力不変形はスケーリングが異なり、混在させてはいけません。振幅不変形は電流の波高値を保ち、電力不変形は先頭係数に √(2/3) を用いて電力を保ちます。ここに示した規約では、電流のスケーリングが √(3/2) だけ異なります。1つの実装で両者を混在させると、トルク定数に50%の誤差が生じることがあります。
計算例
波高値10 Aの平衡三相を考えます。表はサイクル上の3点における相電流とクラーク変換の成分です。
| ωt | ia | ib | ic | iα | iβ | |i| |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0° | 10.0 | −5.0 | −5.0 | 10.0 | 0.0 | 10.0 |
| 30° | 8.66 | 0.0 | −8.66 | 8.66 | 5.0 | 10.0 |
| 60° | 5.0 | 5.0 | −10.0 | 5.0 | 8.66 | 10.0 |
ベクトルの大きさは10 Aのまま、向きだけが変わります。クラーク変換はその回転ベクトルを静止した αβ 座標系で記述しており、3つの相電流は同じ量の別表現にすぎません。
αβ 表現は、90°離れた2つの直交巻線に、時間的に90°ずれた電流を流したものとも見なせます。元の三相巻線と同じ振幅、同じ速度の回転磁界が得られます。
パーク変換：2軸から回転座標系へ
パーク変換は、静止した αβ の組を、電気角 θ を用いて回転子磁束に合わせた座標系へ回します。
変調器へ戻す経路で必要になる逆変換は次のとおりです。
例を続けます。ベクトルは同じ10 Aのまま、座標系をベクトルに対して30°回した場合を示します。
| 回転子角 θ | iα | iβ | id | iq | 読み取り |
|---|---|---|---|---|---|
| 0° | 10.0 | 0.0 | 10.0 | 0.0 | すべて磁化に使われ、トルクは出ない |
| 30° | 8.66 | 5.0 | 10.0 | 0.0 | 整合を保つ。座標系がベクトルに追従した |
| 30°、ベクトルは60° | 5.0 | 8.66 | 5.0 | 8.66 | 半分が磁化、87 %がトルク |
結果が一定になる理由
中央の行では、電流ベクトルと基準座標系がそろって30°回っています。両者の相対角が変わらないため、相電流が正弦波的に変化し続けていても dq への射影は同じ値にとどまります。
PI制御器は一定の目標値に対して使うのが最も簡単です。正弦波状の電流を直接追従させるのは、目標値が動き続けるため難しくなります。パーク変換は電流のフィードバックを定常状態で直流の値に変えるので、電流ループは回転座標系でそれを調整できます。
典型的な実装では id と iq を別々のPIループで調整します。その電圧指令は逆パーク変換を通り、続いて空間ベクトル変調器に入り、インバータのスイッチング信号が生成されます。駆動系全体の概要は可変速モータの仕組みをご覧ください。
idとiqの物理的な意味
id と iq は、選んだ磁束軸に沿う成分と直交する成分です。永久磁石モータでは d軸が回転子磁石に一致します。誘導機では回転子磁束に一致し、その磁束は駆動器がモータモデルから推定します。
2つの成分からトルクを求める
表面永久磁石形の機械では、この簡略モデルは d軸と q軸のインダクタンスを等しいとみなします。トルク式は次のとおりです。
この表面磁石モデルではトルクが iq に比例するため、駆動器は通常 id をゼロに設定します。埋込永久磁石形のモータは d軸と q軸のインダクタンスが異なるため、トルク式にリラクタンス項が加わります。
Lq が Ld より大きい場合、負の id がリラクタンストルクを上乗せします。この関係が最大トルク／電流制御の基礎になっています。一般的な突極比であれば、同じ電流で埋込形は表面形に比べてアンペアあたりのトルクがおよそ10–20%大きくなりますが、この値は回転子形状と電流位相によって変わります。
| PMSM（サーボ） | 誘導機 | |
|---|---|---|
| id の役割 | 磁束を調整。通常は0、基底速度以上では負 | 回転子磁束を形成。保持が必要で、ゼロにはしない |
| iq の役割 | トルクを線形に発生させる | トルクを発生させるが、すべりも決める |
| θ の取得元 | 実測。エンコーダ、レゾルバ、ホールセンサ | 演算。実測速度にすべり周波数を加える |
| 重要パラメータ | 磁石磁束 ψf。温度で変化する | 回転子時定数 Tr = Lr/Rr。温度と飽和で変化する |
| モデルが誤ったときの症状 | トルク定数の誤差、負荷時の位置誤差 | 磁束軸のずれ、アンペアあたりトルクの低下、不安定化の可能性 |
誘導機の回転子磁束
回転子磁束に定向した誘導機制御では、駆動器はモータモデルから回転子磁束を推定します。この簡略表現では、磁束は id に対して一次遅れで応答します。
また、座標系の整合を保つすべり周波数は2つの電流の比になります。
この関係は間接形の磁界定向の中心にあります。Tr は回転子抵抗に依存するため、温度変化がすべり周波数の推定値と磁束角をずらします。巻線抵抗は冷間始動から熱間定常状態にかけておよそ40%上昇することがあり、それによって Tr が短くなり、駆動器が計算するすべり周波数が動きます。背景はかご形誘導モータの用途に、同期モータとの比較は誘導モータと交流モータの違いにまとめています。
非干渉化の問題
id と iq のループは、回転座標系の電圧方程式において速度に依存する項で結合しています。
これらの項が軸間を結合します。iq の変化が d軸電圧に影響し、id の変化が q軸電圧に影響します。停止時にはゼロで、電気的速度とともに増えるため、加速するほど無視できなくなります。
フィードバックではなくフィードフォワード
よく採られるのがフィードフォワードによる非干渉化です。駆動器は自身の指令から ωe·Lq·iq と ωe·(Ld·id + ψf) を計算し、PI出力と合わせてこれらの項を補償します。残った誤差はPIループが修正します。これらの項がないと2つのループが互いに干渉し、低速で滑らかにトルクを保てる駆動器でも、基底速度よりかなり手前で制御権を失うことがあります。回転時には非干渉項が電圧指令の大きな割合を占めることもあります。Ld や Lq の値が誤っていると、定常偏差よりも先に高速域のトルク脈動として現れます。
回転子角度はどこから得るか
ベクトル制御には電気角 θ が必要で、実測するか推定するかになります。主な方式は次のとおりです。
実測
アブソリュートエンコーダやレゾルバが回転子位置を測り、駆動器に渡します。産業用サーボモータでは、動力線とは別に接続するこれらの機器がよく使われます。アブソリュートエンコーダには17～23ビット程度の分解能のものがあります。その分解能は機械側が使い切れないこともあり、実際の位置決め精度は機械系とフィードバック系の全体で決まります。
間接方式
間接形の磁界定向では、駆動器が速度を測り、iq と id からすべり周波数を推定し、回転子速度とすべり速度を積分して θ を求めます。誘導機のベクトル駆動で標準的な方式で、磁束センサを必要としません。精度はモデルが使う回転子時定数に依存します。
推定（センサレス）
センサレス方式は、逆起電力か、注入した高周波信号に対するモータの応答から角度を推定します。逆起電力は速度とともに小さくなり、停止時には得られません。高周波注入は適したモータであれば零速でも角度を推定できますが、ノイズが増え、検出可能な突極性が前提になります。逆起電力方式はファンに向きますが、低速域の制約から、位置決め軸によってはセンサレス制御が適さないことがあります。
| 方式 | θ の求め方 | 零速で動作 | 一般的な精度 | 用途 |
|---|---|---|---|---|
| アブソリュートエンコーダ／レゾルバ | 直接測定 | 可 | 秒角オーダー | サーボ軸、位置決め |
| インクリメンタルエンコーダ＋インデックス | 計数。インデックスパルスで初期化 | 原点復帰後 | 1回転あたりのパルス数 | 汎用モーション制御 |
| 間接方式（すべり演算） | 実測速度＋演算したすべり | 速度センサがあれば可 | Tr の変動で制限 | 誘導機のベクトル駆動 |
| センサレス（逆起電力） | 電圧モデル上のオブザーバ | 不可 | 速度5%未満で劣化 | ファン、ポンプ、圧縮機 |
| 高周波注入 | 注入した搬送波に対する突極応答 | 可 | 負荷で劣化 | センサレス位置決め、一部のPMSM |
id = 0 と基底速度以上の動作
表面磁石形モータでは、主な磁束を回転子磁石が担います。通常の運転領域では id をゼロにすることで、d軸に電流を使わずに済み、期待どおりのアンペアあたりトルクが得られます。厳密な指令値は駆動器の戦略と動作点によって変わることがあります。
基底速度を超えると、逆起電力の上昇に伴い、インバータの利用可能電圧がさらなる加速を制限します。表面磁石形の駆動では、負の id で実効磁束を弱め、速度範囲を広げることがあります。この弱め界磁領域では速度上昇とともにトルクが低下するのが一般的で、動作点は電圧制限と電流制限の両方で決まります。
動作点は電流制限と電圧制限を同時に満たす必要があり、id 軸と iq 軸の上で電流円と電圧楕円として描かれることが多いです。速度ごとに、制御器はそれらの範囲内でトルク要求を満たす点を選びます。ここから、よく知られた定トルク領域と、それに続く定出力領域が生まれます。選定の背景はモータのトルクの計算方法と電動モータの基礎にまとめています。
駆動器が100 µsごとに行う処理
10 kHzの電流ループは100 µsに1回実行されます。各サイクルで駆動器は電流をサンプリングし、制御演算を更新し、次のPWM出力を決めます。
| 手順 | 処理 | 一般的な周期 | 遅すぎると悪化するもの |
|---|---|---|---|
| 1 | 2相または3相の電流と直流リンク電圧をサンプリング | PWM周期ごと | 電流リプルがループに折り返す |
| 2 | クラーク変換で αβ へ | PWM周期ごと | 無視できる。乗加算数回分 |
| 3 | θ を用いたパーク変換 | PWM周期ごと | 角度遅れがトルク誤差として現れる |
| 4 | id と iq のPI制御、および非干渉フィードフォワード | PWM周期ごと | 回転時のトルク制御権の低下 |
| 5 | 逆パーク変換で αβ へ戻す | PWM周期ごと | 同じ角度遅れが鏡像的に生じる |
| 6 | 空間ベクトル変調でデューティ比へ。デッドタイム補償を含む | PWM周期ごと | 低出力時の電流失真 |
| 7 | 速度ループ（電流ループの外側） | 0.5–2 ms | 負荷変動への応答が鈍る |
| 8 | 位置ループ（最も外側） | 1–2 ms | 追従誤差が目立つ |
入れ子構造のループ構成
速度ループと位置ループは、内側の電流ループより低速で動くのが普通です。速度ループは概ね5～10倍遅く、位置ループはさらに遅くなります。速度ループを電流ループの帯域に近づけすぎると発振し、ひどい場合はスイッチング素子に負担をかけます。特定のモータファミリ向けの実装例はBLDCモータのFOC制御で説明しています。
この方法が効かなくなる領域
ベクトル制御は回転子角度の推定とモータ定数に依存します。誤差と遅れが、実機の駆動器が理想モデルからどれだけ離れるかを決めます。主な要因は次のとおりです。
- 抵抗は温度で上がる。 銅の抵抗は100 Kの温度上昇でおよそ40%増え、非干渉項をずらします。誘導機ではすべり周波数が動き、それに伴って磁束角もずれます。
- インダクタンスは飽和で下がる。 Ld と Lq は電流の関数であり、定数ではありません。軽負荷で調整した駆動器は、定格トルクで過補償または不足補償になります。
- 角度には遅れがある。 サンプリング、演算、PWM更新を合わせて1～2周期かかります。低速では小さな角度ですが、電気周波数が高いと大きな角度になり、生じるトルク誤差は速度に比例します。
- デッドタイムは小さな電圧を歪ませる。 数マイクロ秒のインバータのデッドタイムは、フル出力では無視できますが、出力2%では支配的になります。これはまさに低速時の条件です。センサレス駆動が停止直後でうまく動かない主な理由がここにあります。
これらの影響はハードウェアの限界とモデルの不確かさに由来するため、実用的な駆動器はこれを織り込む必要があります。
なかには、オンラインの抵抗推定、インダクタンスのマップ化、デッドタイム補償によってこれらの誤差を減らす駆動器もあります。コストは増えますが、動作限界付近の性能を改善できます。
V/f制御・DTCとの比較
| V/f（スカラー） | ベクトル（FOC） | 直接トルク制御 | |
|---|---|---|---|
| 調整する量 | 電圧と周波数 | id と iq | 固定子磁束とトルクを直接 |
| 回転子角度の要否 | 不要 | 必要 | 不要。ただし磁束推定が必要 |
| 零速時のトルク | 出ない | 出る | 限界的 |
| トルク脈動 | 負荷依存 | 小さい | 大きめ。スイッチングに依存 |
| スイッチング周波数 | 固定 | 固定 | 可変 |
| 演算負荷 | 非常に小さい | 中程度 | 小さいが高速サンプリングが必要 |
| 主な用途 | ファン、ポンプ | サーボ、位置決め、けん引 | 高ダイナミクスの産業用駆動 |
選択はアプリケーションの制御要求で決まります。精密なトルク制御や位置制御が不要ならV/fで足りますし、電流制御を通じてトルクを調整する必要があるならベクトル制御が有効です。モータ選定の背景はサーボモータの基礎とBLDCモータとサーボモータの違いをご覧ください。
ステッピングモータは離散的なステップで動き、位置フィードバックなしで運転できるため、制御器が回転子角度を測っていない場合があります。違いはサーボモータとステッピングモータおよびステッピングモータの仕組みで扱っています。ベクトル制御で駆動する汎用誘導モータもサーボシステムとは異なります。駆動器は回転子位置センサを読むのではなく、回転子磁束を推定します。汎用モータもご参照ください。
位置決め精度よりトルク密度を優先する用途では、高トルクBLDCモータの技術ガイドとBLDCモータの仕組みをご覧ください。
参考文献
- International Electrotechnical Commission. (2022). IEC 60034-1:2022 — Rotating electrical machines, Part 1: Rating and performance. IEC. https://webstore.iec.ch/en/publication/65446
- International Electrotechnical Commission. (2014). IEC 60034-2-1:2014 — Standard methods for determining losses and efficiency from tests. IEC. https://webstore.iec.ch/en/publication/121
- International Electrotechnical Commission. (2016). IEC TS 60034-30-2:2016 — Efficiency classes of variable speed AC motors (IE code). IEC. https://webstore.iec.ch/en/publication/30830
- International Electrotechnical Commission. (2025). IEC 60034-30-1:2025 — Efficiency classes of line operated AC motors (IE code). IEC. https://webstore.iec.ch/en/publication/91195
- International Electrotechnical Commission. (2017). IEC 61800-9-2:2017 — Ecodesign for power drive systems, motor starters and power electronics. IEC. https://webstore.iec.ch/en/publication/111276
- International Electrotechnical Commission. (2013). IEC 60529:1989+AMD2:2013 — Degrees of protection provided by enclosures (IP code). IEC. https://webstore.iec.ch/en/publication/2452
- National Electrical Manufacturers Association. (2021). NEMA MG 1 — Motors and Generators. NEMA. https://www.nema.org/standards
- European Parliament and Council. (2019). Commission Regulation (EU) 2019/1781 laying down ecodesign requirements for electric motors and variable speed drives. Official Journal of the EU. https://eur-lex.europa.eu/eli/reg/2019/1781/oj
- European Parliament and Council. (2023). Regulation (EU) 2023/1230 on machinery and repealing Directive 2006/42/EC. Official Journal of the EU. https://eur-lex.europa.eu/eli/reg/2023/1230/oj
- U.S. Department of Energy. (2024). Motor systems — energy efficiency and system optimisation. Advanced Manufacturing Office. https://www.energy.gov/eere/amo/motor-systems
よくある質問
Q: ACサーボモータのベクトル制御の原理は何ですか。
ベクトル制御は相電流を測定し、回転子に定向した dq 座標系へ変換し、得られた成分をPI制御器で調整します。定常状態では id と iq がほぼ一定になるため、駆動器は磁束とトルクを分けて制御できます。これは他励直流機の制御によく似ています。
Q: PI制御器で三相電流を直接扱えないのはなぜですか。
相電流は正弦波状に変化するのに対し、PI制御器は一定の目標値に対して使うのが最も簡単です。パーク変換が電流のフィードバックを安定した dq の値に変えるため、電流ループはそれを直接調整できます。実際の追従性は駆動器の帯域と、電圧・電流の制限に左右されます。
Q: idとiqは物理的に何を表しますか。
回転子磁束軸に沿う成分と直交する成分です。表面磁石形モータでは iq がトルクを生み、id は基底速度以下で通常ゼロに保たれます。負の id は弱め界磁に使うことがあります。誘導機では id が回転子磁束を形成し、iq がトルクに寄与します。
Q: ベクトル制御にエンコーダは必要ですか。
駆動器に必要なのは回転子角度の情報で、エンコーダ、レゾルバ、センサレス推定のいずれから得てもかまいません。逆起電力による推定は停止時に信号が速度とともに小さくなるため困難です。高周波注入を使うセンサレス方式もありますが、性能はモータと運転条件に依存します。産業用の位置決めシステムでは、低速域で確実に制御するためにフィードバック機器を使うことが多いです。
Q: ベクトル制御とV/f制御の違いは何ですか。
V/f制御は電圧と周波数の比をおおむね一定に保ち、磁束を目標付近にとどめますが、トルクを生む電流を直接調整しません。ベクトル制御は回転子に定向した座標系で電流的成分を調整するため、駆動器はトルクをより直接的に制御できます。V/fはファンやポンプに向き、トルクや位置の要求が厳しい用途ではベクトル制御が必要になることがあります。
Q: ベクトル制御がうまく働かなくなるのはどこですか。
いくつかの条件で性能が落ちます。逆起電力の推定に十分な信号がない極低速時、サンプル間で角度が大きく変わる高い電気周波数時、そして温度や磁気飽和でモータ定数が変化したときです。これらの影響は非干渉化を劣化させます。
サーボ軸とベクトル制御の誘導機のどちらを選ぶか検討中の方は、位置決め要件、負荷イナーシャ、デューティサイクルを技術担当までお知らせください。
